Сообщение на тему история возникновения тригонометрии. Зарождение и развитие тригонометрии. Общие сведения о тригонометрии
Реферат выполнил: Наташа
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/60 4 . Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.
 |
В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
1.1. Зарождение и развитие тригонометрии.
1.2. Сферическая тригонометрия.
1.3. Тригонометрия в Европе до Эйлера.
1.4. Вклад Эйлера в развитие тригонометрии.
1.5. Последователи Эйлера в развитии тригонометрии.
1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ.
Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека.
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew - измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё 2000 лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’с точностью до 1/60 4 . Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в IIIвеке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (Iвек н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”;cos=sin(90-)).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в Xвеке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь вXIVвеке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger(касаться), появилось в 1583 г.Tangensпереводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVIIв., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIIIвеке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
1.2. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ.
Сферическая тригонометрия - раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.
Основы сферической тригонометрии были заложены греческим математиком и астрономом Гиппархом во II веке до н. э. Важный вклад в её развитие внесли такие античные учёные, как Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Сферическая тригонометрия древних греков опиралась на применение теоремы Менелая к полному четырёхстороннику на сфере. Древнегреческие математики излагали условие теоремы Менелая не на языке отношений синусов, а на языке отношений хорд. Для выполнения требуемых расчётов применялись таблицы хорд, аналогичные последующим таблицам синусов.
Как самостоятельная дисциплина сферическая тригонометрия сформировалась в работах средневековых математиков стран ислама. Наибольший вклад в её развитие в эту эпоху внесли такие учёные, как Сабит ибн Корра, Ибн Ирак, Кушьяр ибн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Бируни, Джабир ибн Афлах, ал-Джайяни, Насир ад-Дин ат-Туси. В их работах были введены основные тригонометрические функции, сформулирована и доказана сферическая теорема синусов и ряд других теорем, применявшихся в астрономических и геодезических расчётах, ведено понятие полярного треугольника, позволявшее вычислять стороны сферического треугольника по трём его данным углам.
История сферической тригонометрии в Европе связана с трудами таких учёных, как Региомонтан, Николай Коперник, Франческо Мавролико.
Замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями. Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.
Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Никаланта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.
В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Департамент образования города Москвы
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Среднего Профессионального Образования
Строительный колледж №38
Доклад по математике
На тему: «История развития тригонометрии»
Выполнила студентка:
Удалова Евгения
Группы: 1-Т-1
Москва 2012
Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т. е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10" с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н. э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.
В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха - половина, джива - тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus - изгиб, кривизна).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов - касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) - творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще.
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе - наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
тригонометрия математика питискус
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие тригонометрии, ее сущность и особенности, история возникновения и развития. Структура тригонометрии, ее элементы и характеристика. Создание и развитие аналитической теории тригонометрических функций, роль в нем академика Леонарда Эйлера.
творческая работа , добавлен 15.02.2009
Знакомство с особенностями возникновения тригонометрии, рассмотрение этапов развития. Анализ способов решения треугольников, основанных на зависимостях между сторонами и углами треугольника. Характеристика аналитической теории тригонометрических функций.
презентация , добавлен 24.06.2014
Математика Древнего и Средневекового Китая. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Начальные этапы развития тригонометрии. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей.
дипломная работа , добавлен 22.12.2012
Развитие аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формирование их математической зоркости. Изучение тригонометрии в курсе геометрии основной школы, методы решения нестандартных задач из курса 8 класса и из альтернативных учебников.
курсовая работа , добавлен 01.03.2014
Европейская математика эпохи Возрождения. Создание буквенного исчисления Франсуа Виет и метода решения уравнений. Усовершенствование вычислений в конце XVI – начале XVII веков: десятичные дроби, логарифмы. Установление связи тригонометрии и алгебры.
презентация , добавлен 20.09.2015
Понятия сферической геометрии, соответствие между сферической геометрией и планиметрией. Применение сферической тригонометрии в навигации. Углы сферического многоугольника, анализ планиметрических аксиом. Теорема косинусов для сферических треугольников.
курсовая работа , добавлен 06.12.2011
История развития тригонометрии, характеристика ее основных понятий и формул. Общие вопросы, цели изучения и способы определения тригонометрических функций числового аргумента в школьном курсе. Рекомендации и методы решения тригонометрических уравнений.
курсовая работа , добавлен 19.10.2011
Перестройка структуры и содержания учебного курса математики в процессе проведения реформ математического образования. Определения косинуса, синуса и тангенса острого угла. Основные тригонометрические формулы. Понятие и основные свойства векторов.
дипломная работа , добавлен 11.01.2011
Особенности периода математики постоянных величин. Создание арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Общая характеристика математической культуры Древней Греции. Пифагорейская школа. Открытие несоизмеримости, таблицы Пифагора. "Начала" Евклида.
презентация , добавлен 20.09.2015
История возникновения и развития арабских цифр, особенности их написания, удобство по сравнению с другими системами. Знакомство с цифрами разных народов: системой счисления Древнего Рима, китайскими, деванагари и их развитием от древности, до наших дней.
История тригонометрии
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( - треугольник, а - измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 ’ с точностью до 1/60 4 . Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус , например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной , или как хорда удвоенной дуги.
М
AА’
Рис. 1
В IV - V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus , т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cos = sin (90 - )).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого - угол, - измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
тригонометрия
Важнейший период истории тригонометрии связан с деятельностью учёных Ближнего и Среднего Востока. Начало его можно датировать VIII в., когда в столице арабского халифата Багдаде началась активная работа по изучению индийского и греческого научного наследия. Среди успешно развивавшихся научных дисциплин были те направления астрономии и математики, в рамках которых формировалась плоская и сферическая тригонометрия.
Астрономия - одна из древнейших наук - на протяжении всего средневековья развивалась в неразрывной связи с другими дисциплинами. Необходимое в разных областях практической деятельности людей, например, при точном определении времени, составлении календаря, ориентировки на местности, измерении расстояний и т.д., она, в свою очередь, нуждалась в совершенном математическом аппарате. Именно потребности астрономии явились в тот период важнейшим стимулом быстрого прогресса математики и, в частности, разработки новых вычислительных приёмов.
Большое внимание в это время привлекала гномоника - теория солнечных часов, широко применявшихся в практике. При решении астрономических задач использовались древние графические приёмы, основанные на ортогональном проектировании сферы на плоскость. Всё большее значение приобретало учение о линиях в тригонометрическом круге.
Обобщив результаты, полученные предшественниками, учёные ближнего и Среднего востока развили тригонометрические методы и уже в XII в. фактически превратили тригонометрию в самостоятельную науку.
Прежде чем перейти к обзору тригонометрии на средневековом ближнем и Среднем востоке, следует назвать некоторых учёных, чьи труды сыграли особенно важную роль в ее истории.
Вначале необходимо упомянуть выдающихся переводчиков античной научной литературы с греческого и сирийского языка. Это работавшие в Багдаде в конце VIII - начале IX вв. Хаджжадж ибн Йусуф ибн Матар (жил между 786 и 833 гг.), математик, физик и медик Исхак ибн Хунайн 9830 - 910). Большой вклад в развитие тригонометрии внесли уроженцы Средней Азии Муххамад ибн Мусса ал-Хорезми (ок. 780 - ок.880 гг.) и Ахмад ибн Абдаллах ал-Марвази. Известный под именем Хабаш ал-Хасиб (ок. 770 - ок. 870 гг.). Первый из них прославился прежде всего сочинениями по математике: его имя связывается с созданием алгебры и с распространением арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления с применением нуля. Важное значение в истории науки имел также его географический труд. Как и Хабаш ал-Хасиб, ал-Хорезми относился к виднейшим астрономам своего времени. Их сочинения пользовались огромной популярностью. Особую роль в истории тригонометрии сыграли составленные ими «зиджи».
Особое место в истории тригонометрии занимает выдающийся астроном средневекового Востока Мухаммад ибн Джабир ал-Баттани (ок. 850 - 929). Следует упомянуть также крупнейшего философа, основоположника восточного аристотелизма Абу Насра Мухаммада ал - Фараби (ок. 870 - 950 гг.).
К концу XI в. общими усилиями учёных Ближнего и Среднего Востока были заложены основы тригонометрии как самостоятельной науки. Оформлялась она и в трудах западноарабских математиков, среди которых должны быть названы Мухаммад ибн Йусуф ибн Ахмад ибн My"аз ал-Джаййани (989 - ок. 1080 гг.) и Абу Мухаммад джабир ибн Афлах (XII в.).
В XIII в. важный шаг в развитии тригонометрии сделали представители марагинской научной школы - прежде всего ее руководитель, учёный Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274 гг.) и его ученики Мухьи ад-Дин ал-Магриби и кутб ад-Дин аш-Ширази.
Средневековые учёные стран ислама продолжали в своих сочинениях традиции предшественников, наследниками которых в области точных наук они явились. Поэтому в астрономо- математической литературе этого периода, имеющей отношение к тригонометрии, четко выделяются, во-первых. Комментарии к греческим трудам (прежде всего к «Альмагесту» Птолемея и к сочинениям о сферике) и их обработки, и, во-вторых, сочинения, в которых развиваются индийские методы. Третью группу составляют труды, в которых эти методы сочетаются с греческими.
Индийское влияние сказалось в арабской тригонометрической терминологии. Линия синуса была названа джайб. Это арабизированный индийский термин джива, обозначающий хорду или тетиву лука. Косинус обозначался термином «синус дополнения». Обращённый синус называли вслед за индийцами «стрелой».
Вплоть до X - XI вв. зиджи и близкие им по характеру астрономические сочинения включались сводки основных сведений по тригонометрии и тригонометрические таблицы. Среди авторов трудов, внёсших значительный вклад в развитие науки и увеличение этого материала, были такие учёные как Абу Насар Мансур ибн Ирак и его великий ученик Абу Райхан Беруни. А работа Насир ад-Дина ат-Туси оставила важный след в истории тригонометрии.
Плоская тригонометрия излагалась, как правило, в специальных разделах астрономических сочинениях, прежде всего зиджей. Здесь приводились определения тригонометрических функций и устанавливались соотношения между ними, предлагались правила решения треугольников. Наибольшее внимание, естественно, уделялось вопросу, важному для практики, - составлению тригонометрических таблиц.
Понятие синуса и обращённого синуса встречаются - по-видимому, впервые арабоязычной литературе - в зидже ал-Хорезми. Он приводит таблицу синусов (до секунд включительно) и правило пользования ею, разъясняет, как с помощью этой таблицы найти синус и обращённый синус по данной дуге и как по данному синусу найти дугу. В качестве угловой единицы у ал-Харезми служит «знак зодиака», равный окружности круга, т.е. 30°. Значение синусов даются в частях радиуса, который принят равный 60, и выражаются в шестидесятеричных дробях.
Рис.6 рис.7
Правило определения обращённого синуса, словесно сформулированное ал-Харезми, с помощью современной математической символике можно записать так: если обозначить линию обращённого синуса дуги б через sinvers б, то
sinvers а = 60° - sin (90° - а), при б < 90°,
sinvers а = 60° + sin (90° - а), при б > 90°.
Если радиус круга, как принято сейчас, взять равным 1, то это правило примет вид sinvers б = 1 - cos б, где соответственно cos б > 0 и cos < 0.
Тангенс, котангенс, а также секанс и косеканс, введённые и табулированные тогда же, рассматривались вначале, как линии, фигурировавшие в науке о солнечных часах - гномонике.
Правило, по которому находился котангенс угла б, в современных обозначениях имеет вид
множитель 12 появляется здесь в связи с тем, что гномон подразделяется на 12 частей. Аналогично правило приводится дня тангенса, которая выражается в долях единицы
Однако уже ал-Фараби при изложении труда Птолемея не только отказался от понятия хорды, но и рассматривал линии тангенса и котангенса как линии, связанные с кругом. Тем самым он нарушил традиционную связь этих тригонометрических функций с гномоникой.
Приведём для иллюстрации цитату из его «Книги приложений к Альмагесту», содержащую определение тангенса и котангенса в связи с задачей нахождения высоты солнца: «Пусть ABCD (рис.7) - круг высоты, его центр Е, a DI - пересечение плоскостей круга, высоты и круга горизонта; DE - гномон, стоящий под прямым углом к плоскости горизонта в точке D, СК - пересечение плоскости круга высоты и плоскости, стоящий под прямым углом к горизонту в точке С, а СЕ - гномон, стоящий на этой плоскости. Зададимся дугой высоты AG. Проведём GEF, т.е.луч, соединяющий вершину гномона и конец тени; DF - тень гномона DE, называемая плоской тенью или второй тенью высоты AG, а СН - тень гномона СЕ, называемая обращённой тенью или первой тенью высоты AG» .
При этом ал-Фараби особо отмечает, что тангенс «изменяется и увеличивается с увеличением высоты солнца», а котангенс «уменьшается с увеличением этой высоты».
Но если в приведённом рассуждении связь с гномоникой ещё сильна, то далее, при нахождении величины линий тангенса и котангенса, ал-Фараби рассматривает их только как линии в круге - наряду с линией синуса и косинуса.
Где r-радиус круга.
Существенно также, что ал-Фараби выражает тангенс и котангенс (также, как синус и косинус) в далях радиуса, подразделённого на 60 частей, а не в седьмых и двенадцатых долях гномона, как было принято раньше.
Тригонометрическая функция косинус в трудах восточных математиков рассматривалась только как синус дополнения угла до 90.
Таким образом, к концу ІХ века учёные средневекового Востока знали все шесть тригонометрических функций. Соотношение между ними, которые были выведены из геометрических соображений, формулировались словесно. С помощью математической символики эти соотношения приведенные, например, ал-Баттани, будут иметь вид:
Чрезвычайно важный шаг для развития тригонометрии сделал Абу- л-Вафа ал-Бузджанни, положив г = 1 вместо б= 60. Он стал рассматривать тригонометрические функции в единичном круге и тем самым существенно облегчил вычисления. Ему же принадлежит более изящное, чем у Птолемея, доказательство соотношения, которое сейчас мы выражаем формулой
А у Ибн Йуниса встречается другое, сыгравшее существенную роль в истории тригонометрии:
Далее следуют уже известные из «Альмагеста» теоремы о хорде дополнительной дуги, хорде удвоенной дуги, хорде суммы и разности двух данных дуг, равносильные теоремам о синусе удвоенного и половинного углов, о синусе суммы и разности двух углов. Их важность отмечает Беруни.
Значительно облегчила решение треугольников доказанная в X в. теорема синусов, устанавливающая пропорциональность сторон и противолежащих углов.
Теорема косинусов а 2 = b 2 + с 2 - 2 bc cos А, где а, b, с - стороны треугольника, А - его угол, в общем виде сформулирована не была.
