Показательные уравнения калькулятор. Решение простых линейных уравнений

10.10.2019

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

где А, В, С - задаваемые матрицы, Х - искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X - B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1

Ответ: >

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Степенные или показательные уравнения называют уравнения, в которых переменные находятся в степенях, а основанием является число. Например:

Решение показательного уравнения сводится к 2 довольно простым действиям:

1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания неодинаковые, ищем варианты для решения данного примера.

2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Допустим, дано показательное уравнение следующего вида:

Начинать решение данного уравнения стоит с анализа основания. Основаниея разные - 2 и 4, а для решения нам нужно, чтобы были одинаковые, поэтому преобразуем 4 по такой формуле -\[ (a^n)^m = a^{nm}:\]

Прибавляем к исходному уравнению:

Вынесем за скобки \

Выразим \

Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:

Ответ: \

Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

I. ax 2 =0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0 ). Решение: х=0. Ответ: 0.

Решить уравнения.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:

3x 2 =0, отсюда x=0.

Ответ: 0.

II. ax 2 +bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Ответ: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:

х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

х=0 или 5х-26=0 → 5х=26, делим обе части равенства на 5 и получаем: х=5,2.

Ответ: 0; 5,2.

Пример 3. 64x+4x 2 =0.

Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или х=0 или 16+х =0. Из последнего равенства получим х=-16.

Ответ: -16; 0.

Пример 4. (x-3) 2 +5x=9.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

x 2 -6x+9+5x=9; преобразуем к виду: x 2 -6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:

x 2 -x=0; вынесем х за скобки, получаем: x (x-1)=0. Отсюда или х=0 или х-1=0 → х=1.

Ответ: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Если (-c/a)<0 , то действительных корней нет. Если (-с/а)>0

Пример 5. x 2 -49=0.

Решение.

x 2 =49, отсюда x=±7. Ответ: -7; 7.

Пример 6. 9x 2 -4=0.

Решение.

Часто требуется найти сумму квадратов (x 1 2 +x 2 2) или сумму кубов (x 1 3 +x 2 3) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

x 2 +px+q=0

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Выразим через p и q :

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x 1 2 +x 2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x 1 +x 2 =-p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x 1 3 +x 2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Еще одно полезное равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x 1 2 +x 2 2 .

Решение.

x 1 +x 2 =-p=3, а произведение x 1 ∙x 2 =q= в примере 1 ) равенство:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. У нас -p =x 1 +x 2 =3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 =-4. Тогда x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Ответ: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x 1 3 +x 2 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x 1 +x 2 =-p=2, а произведение x 1 ∙x 2 =q= -4. Применим полученное нами (в примере 2 ) равенство: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x 1 3 +x 2 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x 1 2 +x 2 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5 ; произведение корней равно -3,5 .

Решаем так же, как пример 3) , используя равенство: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x 1 2 +x 2 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p , а произведение корней через q , получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q= -2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36 . Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет : всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13 , а произведение корней 36 . Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0 .

Решение.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D =7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

x 1 +x 2 =-b:a =- (-7):2=3,5.

Пример 7) . Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент (8 ) является четным числом. D 1 =4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x 1 ∙x 2 =c:a =-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

Дискриминант D=b 2 - 4ac.

Если D>0 , то имеем два действительных корня:

Если D=0 , то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a) .

Если D<0, то действительных корней нет.

Пример 1) 2x 2 +5x-3=0.

Решение. a =2; b =5; c =-3.

D=b 2 — 4ac =5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

4x 2 +21x+5=0.

Решение. a =4; b =21; c =5.

D=b 2 — 4ac =21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.

II. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором