Преобразование равномерно распределенной случайной величины в нормально распределенную. Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу
На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).
Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероятности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в ], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f (х) имеет следующий вид:
Иногда это распределение называют законом равномерной плотности . Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.
Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то
откуда с =1/(b - a ).
Теперь функцию f (x ) можно представить в виде
Построим функцию распределения F (x ), для чего найдем выражение F (x ) на интервале [ a , b ]:
Графики функций f (x ) и F (x ) имеют вид:
Найдем числовые характеристики.
Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:
Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [ a , b ] совпадает с серединой этого отрезка.
Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:
откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:
Найдем
теперь вероятность попадания значения
случайной величины, имеющей равномерное
распределение, на интервал
(a
,
b
)
,
принадлежащий целиком
отрезку [
a
,
b
]:
|
|
Геометрически эта вероятность представляетсобойплощадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и
b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.Пример1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
Решение:
СВ-
время ожидания автобуса имеет равномерное
распределение. Тогда искомая вероятность
будет равна:
Пример2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем
Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (
a , b ) , найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.Решение:
Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х 3 . Тогда математическое ожидание равно:
Дисперсия:
Онлайн сервис:
Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.
Равномерно распределенная
на отрезке случайная величина имеет :
Сгенерируем массив из 50 чисел из диапазона }
