Выяснить образуют ли векторы базис векторного пространства. Даны векторы. Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе

Задания для контрольной работы

Задание 1 - 10. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Даны векторы ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.

Вычислим определитель матрицы:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Определитель матрицы равен ∆ =37

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α 1 , α 2 , α 3 , что имеет место равенство:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Запишем данное равенство в координатной форме:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

По свойству равенства векторов имеем:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера .

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Координаты вектора в базисе

Вместе с этой задачей решают также:

Решение матричных уравнений

Метод Крамера

Метод Гаусса

Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Обратная матрица через алгебраические дополнения

Умножение матриц онлайн

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

Решение. Покажем, что векторы 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) образуют базис. Найдём определитель, составленный из координат этих векторов.

Выполняем элементарные преобразования:

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на(-1)

Вычтем из строки 3 строку 2, Вычтем из строки 4 строку 2

Поменяем местами строки 3 и 4.

При этом определитель изменит знак на противоположный:

Т.к. определитель не равен нулю, следовательно, векторы линейно независимы и образуют базис.

Разложим вектор по векторам данного базиса: , здесь, ? искомые координаты вектора в базисе, . В координатной форме это уравнение (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) принимает вид:

Решаем систему методом Гаусса:

Запишем систему в виде расширенной матрицы

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой. Умножим 3-ую строку на 2. Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на 3. Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на 5. Умножим 3-ую строку на 3. Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем?4

Из 2-ой строки выражаем? 3

Из 3-ой строки выражаем? 2

Базисом пространства называют такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис

Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e,e...,e[n] необходимо найти коэффициенты x, ..., x[n] при которых линейная комбинация векторов e,e...,e[n] равна вектору b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x, ..., x[n] называются координатами вектора b в базисе e,e...,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Разложение вектора по векторам базиса

Задача 1. Проверьте, образуют ли векторы a1, a2 базис на плоскости

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю , следовательно векторы линейно независимы, а значит образуют базис .

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Решение: Вычисляем детерминант составленный из векторов

Определитель равен 13 (не равен нулю) - из этого следует что векторы a1, a2 является базисом на плоскости.

---=================---

Рассмотрим типичные примеры из программы МАУП по дисциплине "Высшая математика".

Задача 2. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трехмерного векторного пространства, и разложить вектор b по этому базису (при решении системы линейных алгебраических уравнений использовать метод Крамера).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2) .
Решение: Сначала рассмотрим систему векторов a1, a2, a3 и проверим определитель матрицы А

построенной на векторах отличных от нуля. Матрица содержит один нулевой элемент, поэтому детерминант целесообразнее вычислять как расписание по первому столбцу или третей строчке.

В рекзультаье вычислений получили что определитель отличен от нуля, следовательно векторы a1, a2, a3 линейно независимы .
Согласно определению векторы образуют базис в R3 . Запишем расписание вектора b по базису

Векторы равны, когда их соответствующие координаты равны.
Поэтому из векторного уравнения получим систему линейных уравнений

Решим СЛАУ методом Крамера . Для этого запишем систему уравнений в виде

Главный определитель СЛАУ всегда равен определителю составленному из векторов базиса

Поэтому на практике его не исчисляют дважды. Для нахождения вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место каждого столбца главного определителя. Определители вычисляем по правилу треугольников



Подставим найденые определители в формулу Крамера



Итак, разложение вектора b по базису имеет вид b=-4a1+3a2-a3 . Координатами вектора b в базисе a1, a2, a3 будут (-4,3, 1).

2) a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяем векторы на базис - составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю, следовательно векторы образуют базис в пространстве . Осталось найти расписание вектора b через данный базис. Для этого записываем векторное уравнение

и преобразуем к системе линейных уравнений

Записываем матричное уравнение

Далее для формул Крамера находим вспомогательные определители



Применяем формулы Крамера



Итак заданный вектора b имеет расписание через два вектора базиса b=-2a1+5a3, а его координаты в базисе равны b(-2,0, 5).