Графический метод решения уравнений с параметрами. Графический метод решения задач с параметрами

25.09.2019

§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К СТАТИСТИКЕ.

2. Определение неизвестных параметров распределения.

C помощью гистограммы мы можем приближенно построить график плотности распределения случайной величины . Вид этого графика часто позволяет высказать предположение о плотности распределения вероятностей случайной величины . В выражение этой плотности распределения обычно входят некоторые параметры, которые требуется определить из опытных данных.
Остановимся на том частном случае, когда плотность распределения зависит от двух параметров.
Итак, пусть x 1 , x 2 , ..., x n - наблюдаемые значения непрерывной случайной величины , и пусть ее плотность распределения вероятностей зависит от двух неизвестных параметров A и B , т.е. имеет вид . Один из методов нахождения неизвестных параметров A и B состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание и дисперсия теоретического распределения совпали с выборочными средними значением и дисперсией :

(66)

где

(67)

Из двух полученных уравнений () находят неизвестные параметры A и B . Так, например, если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, то ее плотность распределения вероятностей

зависит от двух параметров a и . Эти параметры, как мы знаем, являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины ; поэтому равенства () запишутся так:

(68)

Следовательно, плотность распределения вероятностей имеет вид

Замечание 1. Такую задачу мы уже решали в . Результат замера есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения с параметрами a и . За приближенное значение a мы выбрали величину , а за приближенное значение - величину .

Замечание 2. При большом количестве опытов нахождение величин и по формулам () cвязано с громоздкими вычислениями. Поэтому поступают так: каждое из наблюдаемых значений величины , попавшее в i -й интервал ] X i-1 , X i [ статистического ряда, считают приближенно равным середине c i этого интервала, т.е. c i =(X i-1 +X i)/2 . Рассмотрим первый интервал ] X 0 , X 1 [ . В него попало m 1 наблюдаемых значений случайной величины , каждое из которых мы заменяем числом с 1 . Следовательно, сумма этих значений приближенно равна m 1 с 1 . Аналогично, сумма значений , попавших во второй интервал, приближенно равна m 2 с 2 и т.д. Поэтому

Подобным же образом получим приближенное равенство

Итак, Покажем, что

(71)

Действительно,

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

{-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

{3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) .

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В данном уроке мы рассмотрим более сложные задачи с параметром и решим их графическим методом.

Тема: Повторение

Урок: Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач

1. Решение квадратного уравнения с параметром графическим методом

Пример 1 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Согласно постановке задачи нам не нужно находить значения корней, а только их количество, решаем задачу графическим методом.

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части: . График данной функции нам известен – это парабола, ветви направлены вверх, корни ее легко найти: , отсюда можно найти координаты вершины:

Рис. 2. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при уравнение имеет единственное решение; при уравнение имеет два решения.

2. Решение уравнений с модулями и параметром графическим методом

Пример 2 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график подмодульной функции: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем: , для этого все отрицательные значения функции зеркально отображаются относительно оси х.

Рис. 3. График функций и

Рис. 4. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при два решения; при четыре решения; при три решения.

Пример 3 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Следует учесть, что . Сначала построим график функции . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем . Для этого вспомним, как раскрывается модуль. При положительных х его можно просто отбросить – эта часть графика уже построена. При отрицательных х: , имеем график: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются и находится вершина. Данное построение можно выполнить проще, зная правило: построить график функции без модуля для положительных х и отобразить его симметрично относительно оси у. Выполним построение:

Рис. 5. График функции

Рис. 6. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при два корня; при четыре корня; при три корня.

3. Решение системы неравенств с параметром графическим способом

Пример 4 – решить систему неравенств с параметром:

Система выглядит довольно сложно, упростим ее. Для этого избавимся от логарифмов и корней. В первом неравенстве сравниваются логарифмы с одинаковым основанием, имеем право отбросить знак логарифма, при этом сменив знак неравенства, т. к. основание логарифмов меньше единицы, но не забудем защитить подлогарифмические выражения (учет ОДЗ).

Чтобы избавиться от корней во втором неравенстве возводим его в квадрат, при этом опять же не забываем учесть ОДЗ. Имеем:

Таким образом, имеем систему четырех неравенств:

Приведем подобные члены:

Строим график полученной эквивалентной системы. Решением первого неравенства является полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением второго неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением третьего неравенства является полуплоскость, расположенная под горизонтальной прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением последнего неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая входит, т. к. неравенство не строгое. Иллюстрируем:

Рис. 7. Иллюстрация решения системы неравенств

Чтобы уточнить, что решением системы является треугольник, как это видно по графику, необходимо уточнить координаты точек пересечения.

Пусть точка А – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом алгебраического сложения:

Пусть точка В – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему.

Уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают из года в год в список заданий типа B и C на едином государственном экзамене ЕГЭ. Однако среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые с легкостью могут быть решены графическим способом. Рассмотрим этот метод на примере решения нескольких задач.

Найти сумму целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 2x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

График первой функции y = |x 2 – 2x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x 0 = -b/2a. Таким образом, x 0 = 2/2 = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x 0 в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x 1 = -1, x 2 = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = |x 2 – 2x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Ответ: 6.

Найти среднее арифметическое целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 4|x| – 1| = a имеет шесть корней.

Начнем с построения графика функции y = |x 2 – 4|x| – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = |a| 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси Oy; (Рис. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x, отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.