Методы решения нестандартных задач
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.
Актуальность темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе в 9 классе, а также 10 и 11 и при сдаче экзаменов.
Цель: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений
Задачи
- Изложить наиболее известные способы решения уравнений
- Изложить нестандартные способы решения уравнений
- Сделать вывод
Объект исследования: квадратные уравнения
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений
Методы исследования:
- Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
- Анализ: информации полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
- Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.
Глава 1.Квадратные уравнения и стандартные способы решения
1.1.Определение квадратного уравнения
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.
Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + b х + с обращается в нуль.
Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его
корни или установить, что корней нет.
Пример: - 7x + 3 =0
В каждом из уравнений вида a + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением .
Пример
х 2 - 11х+ 30=0, х 2 -8х= 0.
1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена
Решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.
Разложение левой части уравнения на множители .
Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х - 2) = 0
Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.
Ответ: -12; 2.
Решение квадратного уравнения по формуле.
Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 выражение b 2 - 4ас = D - по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.
Возможные случаи в зависимости от значения D:
- Если D >0, то уравнение имеет два корня.
- Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х =
- Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Решение уравнений с помощью теоремы Виета.
Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид:
х 2 + bx + c = 0.
Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:
х 2 + px + q = 0, тогда
x 1 + x 2 = - p; x 1 · x 2 = q
Глава 2.Нестандартные способы решения квадратных уравнений
2.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения
Свойства коэффициентов квадратного уравнения - это такой способ решения квадратных уравнений, который поможет быстро и устно найти корни уравнения:
ax 2 + bx + c = 0
- Если а+ b+c= 0, то x 1 = 1, x 2 =
Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х - 4= 0.
a + b + c = 0, то x 1 = 1, x 2 =
1+3+(-4) = 0, тогда x 1 = 1, x 2 = = - 4
Проверим полученные корни с помощью нахождения дискриминанта:
D= b 2 - 4ас= 3 2 - 4·1·(-4) = 9+16= 25
x 1 = = = = = - 4
Следовательно, если + b +c= 0, то x 1 = 1, x 2 =
- Если b = a + c , то x 1 = -1, x 2 =
х 2 + 4х +1 = 0, a=3, b=4, c=1
Если b= a + c , то x 1 = -1, x 2 = , то 4 = 3 + 1
Корни уравнения: x 1 = -1, x 2 =
Значит корнями этого уравнения являются -1 и. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= b 2 - 4ас= 4 2 - 4·3·1 = 16 - 12 = 4
x 1 = = = = = - 1
Следовательно, b= a + c , то x 1 = -1, x 2 =
2.2.Способ «переброски»
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а ±b+c ≠0, то используется прием переброски:
3х 2 +4х+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0
Применяя способ «переброски» получаем:
х 2 + 4х+3 = 0
Таким образом, с помощью теоремы Виета получаем корни уравнения:
x 1 = - 3, x 2 = -1.
Однако корни уравнения необходимо поделить на 3 (то число, которое «перебрасывали»):
Значит, получаем корни: x 1 = -1, x 2 = .
Ответ: ; - 1
2.3.Решение с помощью закономерности коэффициентов
- Если уравнение ax 2 + bx + c = 0, коэффициент b = (a 2 +1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = - a , x 2 =
ax 2 + (а 2 + 1)∙ х + а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +10х +3 = 0.
Таким образом, корни уравнения: x 1 = -3, x 2 =
D= b 2 - 4ас= 10 2 - 4·3·3 = 100 - 36 = 64
x 1 = = = = = - 3
x 2 = = = = = ; Следовательно, x 1 = - a , x 2 =
- Если уравнение ax 2 - bx + c = 0, коэффициент b = (a 2 +1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = a , x 2 =
Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид
ax 2 - (а 2 + 1)∙ х+ а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 - 10х +3 = 0.
, x 2 =
Проверим данное решение с помощью дискриминанта:
D= b 2 - 4ас= 10 2 - 4·3·3 = 100 - 36 = 64
a , x 2 =
- Если уравнение ax 2 + bx - c = 0, коэффициент b = (a 2 -1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = -a , x 2 =
Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид
ax 2 + (а 2 - 1)∙ х - а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 + 8х - 3 = 0..
Таким образом, корни уравнения: x 1 = - 3, x 2 =
Проверим данное решение с помощью дискриминанта:
D= b 2 - 4ас= 8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100
x 1 = = = = = - 3
x 2 = = = = = ;Следовательно, x 1 = - a , x 2 =
- Если уравнение ax 2 - bx - c = 0, коэффициент b = (a 2 -1), и коэффициент c = a , то его корни равны x 1 = a , x 2 =
Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид
ax 2 - (а 2 - 1)∙ х - а= 0
Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 - 8х - 3 = 0..
Таким образом, корни уравнения: x 1 = 3, x 2 = -
Проверим данное решение с помощью дискриминанта:
D= b 2 - 4ас= 8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100
x 2 = = = = = 3; Следовательно, x 1 = a , x 2 = -
2.4.Решение с помощью циркуля и линейки
Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.6).
Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB . OD = OA . OC , откуда OC = = =
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому
1) построим точки S (центр окружности) и A (0; 1) ;
2) проведем окружность с радиусом SA ;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 7а) В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра AS < S , R <
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 7в), в этом случае уравнение не имеет решения.
а
)AS>SB, R>
б
) AS=SB, R=
в
) AS
Два решения x 1 и x 2 Одно решение x 1 Нет решения
Пример.
Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис.8).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
x = - = - = 1,
y = = = -1
Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.
2.5.Геометрический способ решения квадратных уравнений .
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.
Примеры.
1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.9).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:
первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4. 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25. 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя
х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим:
x = 8 - 2 - 2 = 3
2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .
Решение представлено на рис 10. где
у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой
один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис. .
рис.10
3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем
у 2 - 6у = 16.
На рис 11. находим «изображения» выражения у 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 - 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у - 3 . Заменяя выражение у 2 - 6у равным ему числом 16,
получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = - 2.
Заключение
В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.
Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. При работе над темой я ставил задачу, выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.
Итак, стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):
- Решение с помощью выделения квадрата двучлена
- Разложение левой части на множители
- Решение квадратных уравнений по формуле
- Решение с помощью теоремы Виета
- Графическое решение уравнений
Нестандартные методы:
- Свойства коэффициентов квадратного уравнения
- Решение способом переброски коэффициентов
- Решение с помощью закономерности коэффициентов
- Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.
- Исследование уравнения на промежутках действительной оси
- Геометрический способ
При этом следует заметить, что каждый способ обладает своими особенностями и границами применения.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения, при этом легко находятся только целые корни.
Решение уравнений способом переброски
За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета, при этом также легко найти только целые корни.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Доступный метод для устного нахождения корней квадратного уравнения, но подходит только к некоторым уравнениям
Графическое решение квадратного уравнения
Наглядный способ решения квадратного уравнения, однако могут возникать погрешности при составлении графиков
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Наглядный способ решения квадратного уравнения, но также могут возникать погрешности
Геометрический способ решения квадратных уравнений
Наглядный способ, похож на способ выделения полного квадрата
Решая уравнения разными способами, я пришел к выводу, что зная комплекс методов решения квадратных уравнений, можно решить любое уравнение, предлагаемое в процессе обучения.
При этом, следует заметить, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Однако самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, потому что данный способ позволяет решить любое квадратное уравнение, хотя иногда и за более длительное время. Также такие способы решения, как способ «переброски», свойство коэффициентов и теорема Виета помогаю сэкономить время, что очень важно при решении заданий на экзаменах и контрольных работах.
Думаю, что моя работа будет интересна учащимся 9-11 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, за счет рассмотрения истории квадратных уравнений и систематизации способов их решения.
Список литературы
- Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
- Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.
- Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2014 г.
- Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2013 г.
- Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2012 г.
- .Барвенов С. А «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
- Супрун В.П. «Нестандартные методы решения задач по математике» - Минск «Полымя», 2010г
- Шабунин М.И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.
- Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2004. - 287с.
- Шаталова С. Урок - практикум по теме «Квадратные уравнения».- 2004.
Когда люди говорят о каком-то человеке, имеющем убеждения, то это воспринимается как позитивная характеристика. Но что если у наших убеждений и традиционного взгляда на события есть обратная сторона, которая мешает нам ясно понимать происходящие в мире процессы?
Константин Смыгин, основатель сервиса книжных лайфхаков MakeRight , рассказывает о нашумевшей книге Стивена Д. Левитта и Стивена Дж. Дабнера «Фрикомыслие».
«Думать как фрик» - означает находить нестандартные решения, избегать распространенных психологических ловушек и смотреть на происходящие события с такого ракурса, который обычно недоступен зашоренному сознанию.
Немногие люди способны «думать как фрики», и вот почему:
- Как показывают исследования, даже самые умные люди ищут в окружающем мире свидетельства, подтверждающие их точку зрения, и не готовы воспринимать новую информацию, идущую вразрез с их представлениями о мире. Наше сознание искажает и подстраивает под себя окружающую реальность.
- Кроме того, на людей огромное влияние оказывает их окружение, та среда, в которой они живут. Человеку как социальному животному легче согласиться с существующим порядком вещей, нежели подвергнуть его сомнению, вызвав гнев соплеменников. Авторы называют это явление «передачей мыслительного процесса кому-то другому».
- Третья причина также вытекает из особенностей человеческой природы: «людям некогда думать о том, как они думают. Более того, они вообще не тратят много времени на то, чтобы думать».
В своей книге Левитт и Дабнер отстаивают мысль о необходимости в том, чтобы все больше людей думали «как фрики». То есть более продуктивно, изобретательно и рационально.
Сила «я не знаю» и болезнь экспертов
Большинство людей считает постыдным демонстрировать свое незнание и показаться невежественным. По их мнению, лучше пытаться выглядеть экспертом в том, в чем совершенно не разбираешься. В этой ситуации электронные способы общения только на руку. С другой стороны, нежелание признавать свое незнание и некомпетентность означает, что разум человека закрыт для обучения и реальных знаний.
Исследования последних лет (например, Филипа Тетлока) доказали, что эксперты предсказывают будущее ненамного точнее «произвольного выбора шимпанзе, бросающего дарты». Точность их прогнозов составляет всего порядка 47,4%. Это эквивалентно предсказанию наугад, с той лишь разницей, что оно не будет вам стоить ничего, в то время как специалисты по прогнозам возьмут за свои услуги немалые деньги.
Интересно, что исследователь Филип Тетлок характеризует худших предсказателей как излишне самоуверенных - даже в случае, если их прогноз не сбывается.
Тем не менее люди продолжают прислушиваться к прогнозам или идут на поводу у соблазна предсказывать. Почему? Это связано с тем, что (учитывая крайне запутанные причинно-следственные связи нашего мира) мало кто вспоминает о неудавшихся прогнозах. А вот если предсказание сбудется, то человек, его сделавший, может снискать славу пророка или получить крупную награду.
Как признаться в незнании?
Авторы призывают не стесняться признавать свое неведение. Чтобы не поставить себя в глупое положение, сообщите неприятную для вас вещь и закончите фразой: «... но, возможно, я смогу это узнать». Скорее всего, люди позитивно отреагируют на подобную откровенность, особенно если вы вернетесь к ним с нужной информацией.
Зри в корень!
Причинно-следственные связи сложны, запутаны, неочевидны. Однако большинство людей продолжает мыслить и объяснять причины тех или иных явлений по сформированным за них шаблонам.
Чтобы увидеть истинные причины событий, нужно выйти за рамки сложившихся представлений.
- В чем причина нищеты и голода? С одной стороны - это отсутствие денег и еды. С другой стороны, поставки еды и материальная помощь голодающим странам ничего не меняют. Проблема - в неработоспособной экономике, когда власть имущие думают, прежде всего, об удовлетворении собственных потребностей.
- Почему в Африке бушует столько войн? Безусловно, причин много, но основная - в колониальном разделе Африки европейцами в XIX веке. Европейцы делили территории, просто глядя на карту (поэтому границы между африканскими странами часто представляют собой абсолютно прямые линии). В итоге дружественные африканские племена могли оказаться по разные стороны границы, а враждующие - в одной стране.
- Почему в США болезни сердца больше распространены среди чернокожего населения? Было обнаружено, что рабовладельцы отбирали рабов по солености пота. Так как соль задерживает влагу, раб с более соленым потом имел больше шансов выжить во время измождающего морского путешествия до Нового Света и не умереть от обезвоживания. Чувствительность к соли передается по наследству, и исследования показывают, что у афроамериканцев на 50% чаще встречается гипертония, чем у белых (и у чернокожих в других странах), и как результат - выше риск проблем с сердцем.
- До 80-х годов ХХ века считалось, что язву желудка вызывают стрессы и острая еда. Барри Маршалл доказал, что причиной язвы (которая потом может привести к раковой опухоли) является бактерия Helicobacter Pylori. Чтобы преодолеть сопротивление медицинского сообщества, которое не принимало гипотезу Маршалла всерьез, он совершил героический поступок - выпил содержащую бактерии жидкость, после чего у него появились признаки гастрита.
Думай как ребенок
Фрикомыслие зачастую предполагает умение думать как ребенок. Авторы отмечают, что это один из лучших способов поиска нестандартных решений и генерации идей. Дети любопытны и задают такие вопросы, которые боятся задавать взрослые. Отсутствие предубеждений - огромное преимущество для того, кто хочет добраться до сути вещей.
Так как большие проблемы обычно состоят из множества маленьких задач, вполне разумно начать с того, чтобы обратить свое внимание на одну из них. Плюсом здесь является также и то, что маленькую задачу легче воплотить в реальность.
Главный жизненный принцип фрика
Если вы хотите думать как фрик, то авторы советуют всегда использовать реальные стимулы, которые действуют на людей.
Есть множество стимулов - денежных, социальных, моральных. Умение их распознавать и применять - целая наука, потому как разные стимулы действуют в определенных случаях и с определенными людьми.
Определить стимул, который подействует на того или иного человека, непросто. Люди обычно не признаются в том, от чего могут быть зависимы, и авторы не рекомендуют верить в этом вопросе кому-либо на слово.
Существует еще один эффект, так называемый эффект кобры. Он связан с тем, что зачастую проявления щедрости вызывают обратную реакцию. Название он получил после ситуации, в которую попали английские колонисты в Индии. Решив сократить в Дели популяцию змей, колонисты объявили денежное вознаграждение за каждую убитую кобру. Результат был обратным - индийцы начали разводить и выращивать кобр, получая за них деньги, а когда награды отменили, всех кобр выпустили на волю.
Кроме того, стоит избегать стимулов, которые похожи на плохо замаскированные попытки манипулировать. Люди хорошо их чувствуют.
Использование стимулов полезно и с другой точки зрения. Зачастую тот, кто жульничает или лжет, реагирует на них особым образом. Исходя из этого, авторы выводят принцип, который называют «научи сад твой пропалывать себя». Смысл в том, что нужно заранее предусмотреть ситуацию, при которой человек с недобрыми намерениями раскроет себя.
В качестве примера авторы приводят известную историю о царе Соломоне. Однажды к нему на суд пришли две женщины с ребенком, каждая из которых утверждала, что ребенок ее. Соломон объявил им, что решил разрубить ребенка и дать каждой матери по половине. Это помогло вычислить настоящую мать, которая в ужасе сказала, что пусть лучше ее ребенок достанется другой, но будет жить. Самозванка же согласилась убить ребенка.
Как убеждать людей, которые не хотят, чтобы их убеждали?
Крайне глупо выдавать свое предложение за идеальное - это всегда настораживает людей, просто потому что такого не бывает. Чтобы человек не чувствовал подвоха, сами расскажите о слабых местах вашего предложения.
А вот переубедить кого-то - трудная задача в силу психологических эффектов. Если убеждения человека (что часто бывает) базируются на стереотипах и стадном мышлении, переубеждать его, используя логику и здравомыслие, - пустая трата времени. Лучше работать не над логикой доказательств, а над их эффектностью.
Еще один прием - признавать сильные стороны аргументов противника, что поможет придать значимости собственным аргументам.
Кроме того, ни в коем случае не стоит переходить черту, навешивать ярлыки и скатываться до оскорблений. Это сразу же лишит вас всех позиций. Лучшая стратегия переубеждения - рассказывать истории. Истории привлекают внимание и помогают перенестись на другой уровень понимания, способствуя лучшему восприятию ваших доводов и идей.
Преимущества отступления
Важно не поддаваться распространенной ментальной ловушке - если мы уже вложили во что-то время и средства, то мы продолжаем вкладывать средства и время в эти проекты, даже тогда, когда они не приносят ничего полезного. Это называется «ошибкой необратимых издержек». Так, вовремя отступив от убыточного проекта разработки «Конкорда», правительства Франции и Великобритании смогли бы уберечь свои бюджеты от миллиардных расходов.
Мы боимся остановиться потому, что это будет признанием нашей ошибки. В итоге мы вынуждены продолжать бесперспективное дело. Но, как уже отмечалось ранее, думать как фрик предполагает не бояться признаваться в собственных ошибках.
Эффективным способом избежать ошибок необратимых издержек является напоминание себе о них. Всегда ведите поиск альтернативных путей и решений той или иной ситуации.
Спросите себя: «Как бы я поступил сейчас, используя те же самые время, деньги и ресурсы?».
Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников
«Шаг в науку»
Секция МАТЕМАТИКИ
Тема : Нестандартные методы решения иррациональных
уравнений.
Нуждина Мария, МАОУ СОШ №2
10 класс, п. Карымское
Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,
учитель математики
МАОУ СОШ №2, п. Карымское
п. Карымское, 2013
Аннотация………………………………………………………………….3
План исследования…………………………………………………….......4-5
Описание работы:
§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9
§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14
§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17
§4. Разложение на множители…………………………………………...…..18-19
§5. Уравнения вида ………………………………………20-22
§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях
; ……………………………23-24
4) Список литературы…………………………………………………….....25
Аннотация.
Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».
При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;
В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы :
Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;
Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;
Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;
Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений
Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»
Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.
План исследования.
Объектной областью , в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования - решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения - предмет нашего исследования.
В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.
Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения - нужная и интересная работа.
В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.
Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.
Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.
Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи :
Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.
Установить связи между видами и методами решения.
Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.
Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).
В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина,И.Т.Бородуля, а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».
Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»
Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.
Описание работы.
§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений
Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.
Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.
Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.
Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.
Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.
Рассмотрим несколько примеров:
Ответ: корней нет
–посторонний корень
В этих примерах мы рассмотрели стандартные методы решения иррациональных уравнений(возведение обеих частей в степень и проверка корней).
Однако, многие иррациональные уравнения могут быть решены,
основываясь только на понятиях корня и ОДЗ уравнения.
Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.
3х -2х 2 +5 ≥0 (условия ОДЗ уравнения)
4х 2 -26х +40 ≥0
Решая эту систему неравенств получим:
х € Откуда х = 2,5.
х € (-∞ ; 2,5] ᴗ уравнение (1) решений не имеет.
Если же Х>2, то sinпХ≤1, X3 – X=(Х2 – 1)>2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+~) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, Х=0, Х=1 и Х= - 1и только они являются решениями исходного уравнения.
Ответ: Х1=0,Х2=1, Х3= -1.
Пример3: Решить уравнение.
2 sinпХ=Х – п/2 – Х+п/2. (2)
Решение:
Обозначим =Х – п/2 – Х+п/2 через f(X). Из определения абсолютной величины следует, что f (X)=п при Х≤ - п/2, f(Х)= -2Х при – п/2 Рассмотрим Х из промежутка (- п/2,п/2). На этом промежутке уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпХ= - 2Х, т. е. в виде. sinХ= - Х/п. (3) Ясно, что Х=0 есть решение уравнения (3), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (3) на промежутке (- п/2;п/2) не имеет. Для Х≠0 уравнение (3) равносильно уравнению. Для любого значения ХЄ(- п/2;0)U(0;п/2), функция f(X)=sinX/Х принимает только положительные значения, поэтому уравнение (3) не имеет решений на множестве (- п/2;0)U(0;п/2). Ответ:
Х=0; Х=(-1)пп/6+Пn, n= 1,2…;=(-1)m+1п/6+Пm, m=1,2… Заключение.
В ходе изучения данной темы, я сделала следующий вывод, нестандартные приемы решения уравнений позволяют получить результат более рациональным способом. При использовании нестандартных методов решение занимает меньше времени, а также оно более интересно. Список использованной литературы.
, . «Задачи по математике. Уравнения и неравенства». «Математика на устном экзамене». , «Задачи на составление уравнений». , «Уравнения и неравенства». , «Математика. Методы решения задач». Соловьёв А. Ф. «Уравнительные вычисления».
