Методы определения регрессионной зависимости. Регрессионный анализ - статистический метод исследования зависимости случайной величины от переменных
Задачи регрессионного анализа :
а) Установление формы зависимости. Относительно характера и формы зависимости между явлениями, различают положительную линейную и нелинейную и отрицательную линейную и нелинейную регрессию.
б) Определение функции регрессии в виде математического уравнения того или иного типа и установление влияния объясняющих переменных на зависимую переменную.
в) Оценка неизвестных значений зависимой переменной. С помощью функции регрессии можно воспроизвести значения зависимой переменной внутри интервала заданных значений объясняющих переменных (т. е. решить задачу интерполяции) или оценить течение процесса вне заданного интервала (т. е. решить задачу экстраполяции). Результат представляет собой оценку значения зависимой переменной.
Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х: , где y - зависимая переменная (результативный признак); x - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия: y = a + bx + ε
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
.
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии :
и индекс корреляции - для нелинейной регрессии:
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации .
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
.
Допустимый предел значений - не более 8-10%.
Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:
.
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
,
где - общая сумма квадратов отклонений;
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
- остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R 2:
Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции.
F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F-критерия Фишера. F факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:
,
где n - число единиц совокупности; m - число параметров при переменных х.
F табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости a. Уровень значимости a - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно a принимается равной 0,05 или 0,01.
Если F табл < F факт, то Н о - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл > F факт, то гипотеза Н о не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н о о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
; ; .
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - t табл и t факт - принимаем или отвергаем гипотезу Н о.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством
Если t табл < t факт то H o отклоняется, т.е. a, b и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t табл > t факт то гипотеза Н о не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или .
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку D для каждого показателя:
, .
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
; ;
; ;
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.
Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :
,
где 
и строится доверительный интервал прогноза:
; 
; 
где 
.
Пример решения
Задача №1 . По семи территориям Уральского района За 199Х г. известны значения двух признаков.Таблица 1.
Требуется: 1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной (предварительно нужно произвести процедуру линеаризации переменных, путем логарифмирования обеих частей);
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
Решение (Вариант №1)
Для расчета параметров a и b линейной регрессии (расчет можно проводить с помощью калькулятора).решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:
По исходным данным рассчитываем
:
| y | x | yx | x 2 | y 2 | A i | |||
| l | 68,8 | 45,1 | 3102,88 | 2034,01 | 4733,44 | 61,3 | 7,5 | 10,9 |
| 2 | 61,2 | 59,0 | 3610,80 | 3481,00 | 3745,44 | 56,5 | 4,7 | 7,7 |
| 3 | 59,9 | 57,2 | 3426,28 | 3271,84 | 3588,01 | 57,1 | 2,8 | 4,7 |
| 4 | 56,7 | 61,8 | 3504,06 | 3819,24 | 3214,89 | 55,5 | 1,2 | 2,1 |
| 5 | 55,0 | 58,8 | 3234,00 | 3457,44 | 3025,00 | 56,5 | -1,5 | 2,7 |
| 6 | 54,3 | 47,2 | 2562,96 | 2227,84 | 2948,49 | 60,5 | -6,2 | 11,4 |
| 7 | 49,3 | 55,2 | 2721,36 | 3047,04 | 2430,49 | 57,8 | -8,5 | 17,2 |
| Итого | 405,2 | 384,3 | 22162,34 | 21338,41 | 23685,76 | 405,2 | 0,0 | 56,7 |
| Ср. знач. (Итого/n) | 57,89 | 54,90 | 3166,05 | 3048,34 | 3383,68 | X | X | 8,1 |
| s | 5,74 | 5,86 | X | X | X | X | X | X |
| s 2 | 32,92 | 34,34 | X | X | X | X | X | X |
Уравнение регрессии: у =
76,88 - 0,35х.
С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ных пункта.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь умеренная, обратная.
Определим коэффициент детерминации:
Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х,
определим теоретические (расчетные) значения
.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации :
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.
Рассчитаем F-критерий:
поскольку 1< F
<
¥
, следует рассмотреть F
-1 .
Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Но о
случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.
1б.
Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
где
Y=lg(y), X=lg(x), C=lg(a).
Для расчетов используем данные табл. 1.3.
Таблица 1.3
| Y | X | YX | Y 2 | X 2 | A i | ||||
| 1 | 1,8376 | 1,6542 | 3,0398 | 3,3768 | 2,7364 | 61,0 | 7,8 | 60,8 | 11,3 |
| 2 | 1,7868 | 1,7709 | 3,1642 | 3,1927 | 3,1361 | 56,3 | 4,9 | 24,0 | 8,0 |
| 3 | 1,7774 | 1,7574 | 3,1236 | 3,1592 | 3,0885 | 56,8 | 3,1 | 9,6 | 5,2 |
| 4 | 1,7536 | 1,7910 | 3,1407 | 3,0751 | 3,2077 | 55,5 | 1,2 | 1,4 | 2,1 |
| 5 | 1,7404 | 1,7694 | 3,0795 | 3,0290 | 3,1308 | 56,3 | -1,3 | 1,7 | 2,4 |
| 6 | 1,7348 | 1,6739 | 2,9039 | 3,0095 | 2,8019 | 60,2 | -5,9 | 34,8 | 10,9 |
| 7 | 1,6928 | 1,7419 | 2,9487 | 2,8656 | 3,0342 | 57,4 | -8,1 | 65,6 | 16,4 |
| Итого | 12,3234 | 12,1587 | 21,4003 | 21,7078 | 21,1355 | 403,5 | 1,7 | 197,9 | 56,3 |
| Среднее значение | 1,7605 | 1,7370 | 3,0572 | 3,1011 | 3,0194 | X | X | 28,27 | 8,0 |
| σ | 0,0425 | 0,0484 | X | X | X | X | X | X | X |
| σ 2 | 0,0018 | 0,0023 | X | X | X | X | X | X | X |
Рассчитаем С иb:
Получим линейное уравнение:
.
Выполнив его потенцирование, получим:
Подставляя в данное уравнение фактические значения х,
получаем теоретические значения результата. По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации 
Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.
1в . Построению уравнения показательной кривой
предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
Для расчетов используем данные таблицы.
| Y | x | Yx | Y 2 | x 2 | A i | ||||
| 1 | 1,8376 | 45,1 | 82,8758 | 3,3768 | 2034,01 | 60,7 | 8,1 | 65,61 | 11,8 |
| 2 | 1,7868 | 59,0 | 105,4212 | 3,1927 | 3481,00 | 56,4 | 4,8 | 23,04 | 7,8 |
| 3 | 1,7774 | 57,2 | 101,6673 | 3,1592 | 3271,84 | 56,9 | 3,0 | 9,00 | 5,0 |
| 4 | 1,7536 | 61,8 | 108,3725 | 3,0751 | 3819,24 | 55,5 | 1,2 | 1,44 | 2,1 |
| 5 | 1,7404 | 58,8 | 102,3355 | 3,0290 | 3457,44 | 56,4 | -1,4 | 1,96 | 2,5 |
| 6 | 1,7348 | 47,2 | 81,8826 | 3,0095 | 2227,84 | 60,0 | -5,7 | 32,49 | 10,5 |
| 7 | 1,6928 | 55,2 | 93,4426 | 2,8656 | 3047,04 | 57,5 | -8,2 | 67,24 | 16,6 |
| Итого | 12,3234 | 384,3 | 675,9974 | 21,7078 | 21338,41 | 403,4 | -1,8 | 200,78 | 56,3 |
| Ср. зн. | 1,7605 | 54,9 | 96,5711 | 3,1011 | 3048,34 | X | X | 28,68 | 8,0 |
| σ | 0,0425 | 5,86 | X | X | X | X | X | X | X |
| σ 2 | 0,0018 | 34,339 | X | X | X | X | X | X | X |
Значения параметров регрессии A и В
составили:
Получено линейное уравнение: 
.
Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:
Тесноту связи оценим через индекс корреляции :
ВЫВОД ИТОГОВ
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0,998364 |
| R-квадрат | 0,99673 |
| Нормированный R-квадрат | 0,996321 |
| Стандартная ошибка | 0,42405 |
| Наблюдения | 10 |
Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.
Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .
В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.
Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение R-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.
В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.
Множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).
Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.
В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно, множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |
| Y-пересечение | 2,694545455 | 0,33176878 | 8,121757129 |
| Переменная X 1 | 2,305454545 | 0,04668634 | 49,38177965 |
| * Приведен усеченный вариант расчетов | |||
Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б . Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).
Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:
Y= x*2,305454545+2,694545455
Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).
Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.
Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).
В таблице 8.3в . представлены результаты вывода остатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента "Регрессия" активировать чекбокс "Остатки".
ВЫВОД ОСТАТКА
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | Стандартные остатки |
|---|---|---|---|
| 1 | 9,610909091 | -0,610909091 | -1,528044662 |
| 2 | 7,305454545 | -0,305454545 | -0,764022331 |
| 3 | 11,91636364 | 0,083636364 | 0,209196591 |
| 4 | 14,22181818 | 0,778181818 | 1,946437843 |
| 5 | 16,52727273 | 0,472727273 | 1,182415512 |
| 6 | 18,83272727 | 0,167272727 | 0,418393181 |
| 7 | 21,13818182 | -0,138181818 | -0,34562915 |
| 8 | 23,44363636 | -0,043636364 | -0,109146047 |
| 9 | 25,74909091 | -0,149090909 | -0,372915662 |
| 10 | 28,05454545 | -0,254545455 | -0,636685276 |
При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение
При наличии корреляционной связи между факторными и результативными признаками врачам нередко приходится устанавливать, на какую величину может измениться значение одного признака при изменении другого на общепринятую или установленную самим исследователем единицу измерения.
Например, как изменится масса тела школьников 1-го класса (девочек или мальчиков), если рост их увеличится на 1 см. В этих целях применяется метод регрессионного анализа.
Наиболее часто метод регрессионного анализа применяется для разработки нормативных шкал и стандартов физического развития.
- Определение регрессии
. Регрессия - функция, позволяющая по средней величине одного признака определить
среднюю величину другого признака, корреляционно связанного с первым.
С этой целью применяется коэффициент регрессии и целый ряд других параметров. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.
- Определение коэффициента регрессии . Коэффициент регрессии - абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную единицу измерения.
- Формула коэффициента регрессии
. R у/х = r ху x (σ у / σ x)
где R у/х - коэффициент регрессии;
r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у;
(σ у и σ x) - среднеквадратические отклонения признаков x и у.В нашем примере ;
σ х = 4,6 (среднеквадратическое отклонение температуры воздуха в осенне-зимний период;
σ у = 8,65 (среднеквадратическое отклонение числа инфекционно-простудных заболеваний).
Таким образом, R у/х - коэффициент регрессии.
R у/х = -0,96 х (4,6 / 8,65) = 1,8, т.е. при снижении среднемесячной температуры воздуха (x) на 1 градус среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) в осенне-зимний период будет изменяться на 1,8 случаев. - Уравнение регрессии
. у = М у + R y/x (х - М x)
где у - средняя величина признака, которую следует определять при изменении средней величины другого признака (х);
х - известная средняя величина другого признака;
R y/x - коэффициент регрессии;
М х, М у - известные средние величины признаков x и у.Например, среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) можно определить без специальных измерений при любом среднем значении среднемесячной температуры воздуха (х). Так, если х = - 9°, R у/х = 1,8 заболеваний, М х = -7°, М у = 20 заболеваний, то у = 20 + 1,8 х (9-7) = 20 + 3,6 = 23,6 заболеваний.
Данное уравнение применяется в случае прямолинейной связи между двумя признаками (х и у). - Назначение уравнения регрессии . Уравнение регрессии используется для построения линии регрессии. Последняя позволяет без специальных измерений определить любую среднюю величину (у) одного признака, если меняется величина (х) другого признака. По этим данным строится график - линия регрессии , по которой можно определить среднее число простудных заболеваний при любом значении среднемесячной температуры в пределах между расчетными значениями числа простудных заболеваний.
- Сигма регрессии (формула)
.
где σ Rу/х - сигма (среднеквадратическое отклонение) регрессии;
σ у - среднеквадратическое отклонение признака у;
r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у.Так, если σ у - среднеквадратическое отклонение числа простудных заболеваний = 8,65; r ху - коэффициент корреляции между числом простудных заболеваний (у) и среднемесячной температурой воздуха в осенне-зимний период (х) равен - 0,96, то
- Назначение сигмы регрессии
. Дает характеристику меры разнообразия результативного признака (у).
Например, характеризует разнообразие числа простудных заболеваний при определенном значении среднемесячной температуры воздуха в осеннне-зимний период. Так, среднее число простудных заболеваний при температуре воздуха х 1 = -6° может колебаться в пределах от 15,78 заболеваний до 20,62 заболеваний.
При х 2 = -9° среднее число простудных заболеваний может колебаться в пределах от 21,18 заболеваний до 26,02 заболеваний и т.д.Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии.
- Данные, необходимые для расчета и графического изображения шкалы регрессии
- коэффициент регрессии - R у/х;
- уравнение регрессии - у = М у + R у/х (х-М x);
- сигма регрессии - σ Rx/y
- Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии
.
- определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см.
- по формуле уравнения регрессии (см п. 4) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у, у 2 ,
у 3 ...)* для определеного значения роста (х, х 2 , х 3 ...).
________________
* Величину "у" следует рассчитывать не менее чем для трех известных значений "х".При этом средние значения массы тела и роста (М х, и М у) для определенного возраста и пола известны
- вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ у и r ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6).
- на основании известных значений х 1 , х 2 , х 3 и соответствующих им средних значений
у 1 , у 2 у 3 , а также наименьших (у - σ rу/х)и наибольших (у + σ rу/х)
значений (у) построить шкалу регрессии.
Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х, х 2 , х 3 (ось ординат), т.е. строится линия регрессии, например зависимости массы тела (у) от роста (х).
Затем в соответствующих точках у 1 , y 2 , y 3 отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у 1 , y 2 , y 3 .
- Практическое использование шкалы регрессии
. Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности по
физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей.
При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в
пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела - (у) для данного роста (x)
(у ± 1 σ Ry/x).
Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии: (у ± 2 σ Ry/x)
Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ Ry/x).
По результатам статистического исследования физического развития мальчиков 5 лет известно, что их средний рост (х) равен 109 см, а средняя масса тела (у) равна 19 кг. Коэффициент корреляции между ростом и массой тела составляет +0,9, средние квадратические отклонения представлены в таблице.
Требуется:
- рассчитать коэффициент регрессии;
- по уравнению регрессии определить, какой будет ожидаемая масса тела мальчиков 5 лет при росте, равном х1 = 100 см, х2 = 110 см, х3= 120 см;
- рассчитать сигму регрессии, построить шкалу регрессии, результаты ее решения представить графически;
- сделать соответствующие выводы.
Условие задачи и результаты ее решения представлены в сводной таблице.
Таблица 1
| Условия задачи | Pезультаты решения задачи | ||||||||
| уравнение регрессии | сигма регрессии | шкала регрессии (ожидаемая масса тела (в кг)) | |||||||
| М | σ | r ху | R у/x | х | У | σ R x/y | y - σ Rу/х | y + σ Rу/х | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Рост (х) | 109 см | ± 4,4см | +0,9 | 0,16 | 100см | 17,56 кг | ± 0,35 кг | 17,21 кг | 17,91 кг |
| Масса тела (y) | 19 кг | ± 0,8 кг | 110 см | 19,16 кг | 18,81 кг | 19,51 кг | |||
| 120 см | 20,76 кг | 20,41 кг | 21,11 кг | ||||||
Решение .
Вывод.
Таким образом, шкала регрессии в пределах расчетных величин массы тела позволяет определить ее при любом другом
значении роста или оценить индивидуальное развитие ребенка. Для этого следует восстановить перпендикуляр к линии регрессии.
- Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 464 с.
- Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. - 512 с.
- Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. - М.: Медицина, 2003. - 368 с.
- Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). - СПб, 1998. -528 с.
- Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) - Москва, 2000. - 432 с.
- С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. - М., Практика, 1998. - 459 с.
Понятия корреляции и регрессии непосредственно связаны между собой. В корреляционном и регрессионном анализе много общих вычислительных приемов. Они используются для выявления причинно-следственных соотношений между явлениями и процессами. Однако, если корреляционный анализ позволяет оценить силу и направление стохастической связи, то регрессионный анализ - еще и форму зависимости.
Регрессия может быть:
а) в зависимости от числа явлений (переменных):
Простой (регрессия между двумя переменными);
Множественной (регрессия между зависимой переменной (y) и несколькими объясняющими ее переменными (х1, х2...хn);
б) в зависимости от формы:
Линейной (отображается линейной функцией, а между изучаемыми переменными существуют линейные соотношения);
Нелинейной (отображается нелинейной функцией, между изучаемыми переменными связь носит нелинейный характер);
в) по характеру связи между включенными в рассмотрение переменными:
Положительной (увеличение значения объясняющей переменной приводит к увеличению значения зависимой переменной и наоборот);
Отрицательной (с увеличением значения объясняющей переменной значение объясняемой переменной уменьшается);
г) по типу:
Непосредственной (в этом случае причина оказывает прямое воздействие на следствие, т.е. зависимая и объясняющая переменные связаны непосредственно друг с другом);
Косвенной (объясняющая переменная оказывает опосредованное действие через третью или ряд других переменных на зависимую переменную);
Ложной (нонсенс регрессия) - может возникнуть при поверхностном и формальном подходе к исследуемым процессам и явлениям. Примером бессмысленных является регрессия, устанавливающая связь между уменьшением количества потребляемого алкоголя в нашей стране и уменьшением продажи стирального порошка.
При проведении регрессионного анализа решаются следующие основные задачи:
1. Определение формы зависимости.
2. Определение функции регрессии. Для этого используют математическое уравнение того или иного типа, позволяющее, во-первых, установить общую тенденцию изменения зависимой переменной, а, во-вторых, вычислить влияние объясняющей переменной (или нескольких переменных) на зависимую переменную.
3. Оценка неизвестных значений зависимой переменной. Полученная математическая зависимость (уравнение регрессии) позволяет определять значение зависимой переменной как в пределах интервала заданных значений объясняющих переменных, так и за его пределами. В последнем случае регрессионный анализ выступает в качестве полезного инструмента при прогнозировании изменений социально-экономических процессов и явлений (при условии сохранения существующих тенденций и взаимосвязей). Обычно длина временного отрезка, на который осуществляется прогнозирование, выбирается не более половины интервала времени, на котором проведены наблюдения исходных показателей. Можно осуществить как пассивный прогноз, решая задачу экстраполяции, так и активный, ведя рассуждения по известной схеме "если..., то" и подставляя различные значения в одну или несколько объясняющих переменных регрессии.
Для построения регрессии используется специальный метод, получивший название метода наименьших квадратов . Этот метод имеет преимущества перед другими методами сглаживания: сравнительно простое математическое определение искомых параметров и хорошее теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения.
При выборе модели регрессии одним из существенных требований к ней является обеспечение наибольшей возможной простоты, позволяющей получить решение с достаточной точностью. Поэтому для установления статистических связей вначале, как правило, рассматривают модель из класса линейных функций (как наиболее простейшего из всех возможных классов функций):
где bi, b2...bj - коэффициенты, определяющие влияние независимых переменных хij на величину yi; аi - свободный член; ei - случайное отклонение, которое отражает влияние неучтенных факторов на зависимую переменную; n - число независимых переменных; N число наблюдений, причем должно соблюдаться условие (N . n+1).
Линейная модель может описывать весьма широкий класс различных задач. Однако на практике, в частности в социально-экономических системах, подчас затруднительно применение линейных моделей из-за больших ошибок аппроксимации. Поэтому нередко используются функции нелинейной множественной регрессии, допускающие линеаризацию. К их числу, например, относится производственная функция (степенная функция Кобба-Дугласа), нашедшая применение в различных социально-экономических исследованиях. Она имеет вид:
где b 0 - нормировочный множитель, b 1 ...b j - неизвестные коэффициенты, e i - случайное отклонение.
Используя натуральные логарифмы, можно преобразовать это уравнение в линейную форму:
Полученная модель позволяет использовать стандартные процедуры линейной регрессии, описанные выше. Построив модели двух видов (аддитивные и мультипликативные), можно выбрать наилучшие и провести дальнейшие исследования с меньшими ошибками аппроксимации.
Существует хорошо развитая система подбора аппроксимирующих функций - методика группового учета аргументов (МГУА) .
О правильности подобранной модели можно судить по результатам исследования остатков, являющихся разностями между наблюдаемыми величинами y i и соответствующими прогнозируемыми с помощью регрессионного уравнения величинами y i . В этом случае для проверки адекватности модели рассчитывается средняя ошибка аппроксимации:
Модель считается адекватной, если e находится в пределах не более 15%.
Особо подчеркнем, что применительно к социально-экономическим системам далеко не всегда выполняются основные условия адекватности классической регрессионной модели.
Не останавливаясь на всех причинах возникающей неадекватности, назовем лишь мультиколлинеарность - самую сложную проблему эффективного применения процедур регрессионного анализа при изучении статистических зависимостей. Под мультиколлинеарностью понимается наличие линейной связи между объясняющими переменными.
Это явление:
а) искажает смысл коэффициентов регрессии при их содержательной интерпретации;
б) снижает точность оценивания (возрастает дисперсия оценок);
в) усиливает чувствительность оценок коэффициентов к выборочным данным (увеличение объема выборки может сильно повлиять на значения оценок).
Существуют различные приемы снижения мультиколлинеарности. Наиболее доступный способ - устранение одной из двух переменных, если коэффициент корреляции между ними превышает значение, равное по абсолютной величине 0,8. Какую из переменных оставить решают, исходя из содержательных соображений. Затем вновь проводится расчет коэффициентов регрессии.
Использование алгоритма пошаговой регрессии позволяет последовательно включать в модель по одной независимой переменной и анализировать значимость коэффициентов регрессии и мультиколлинеарность переменных. Окончательно в исследуемой зависимости остаются только те переменные, которые обеспечивают необходимую значимость коэффициентов регрессии и минимальное влияние мультиколлинеарности.
Метод регрессивного анализа применяется для определения технико-экономических параметров продукции, относящейся к конкретному параметрическому ряду, с целью построения и выравнивания ценностных соотношений. Этот метод используется для анализа и обоснования уровня и соотношений цен продукции, характеризующейся наличием одного или нескольких технико-экономических параметров, отражающих основные потребительские свойства. Регрессивный анализ позволяет найти эмпирическую формулу, описывающую зависимость цены от технико-экономических параметров изделий:
P=f(X1X2,...,Xn),
где Р - значение цены единицы изделия, руб.; (Х1, Х2, ... Хп) - технико-экономические параметры изделий.
Метод регрессивного анализа - наиболее совершенный из используемых нормативно-параметрических методов - эффективен при проведении расчетов на основе применения современных информационных технологий и систем. Применение его включает следующие основные этапы:
- определение классификационных параметрических групп изделий;
- отбор параметров, в наибольшей степени влияющих на цену изделия;
- выбор и обоснование формы связи изменения цены при изменении параметров;
- построение системы нормальных уравнений и расчет коэффициентов регрессии.
Основной квалификационной группой изделий, цена которых подлежит выравниванию, является параметрический ряд, внутри которого изделия могут группироваться по различному исполнению в зависимости от их применения, условий и требований эксплуатации и т. д. При формировании параметрических рядов могут быть применены методы автоматической классификации, которые позволяют из общей массы продукции выделять ее однородные группы. Отбор технико-экономических параметров производится исходя из следующих основных требований:
- в состав отобранных параметров включаются параметры, зафиксированные в стандартах и технических условиях; помимо технических параметров (мощности, грузоподъемности, скорости и т.д.) используются показатели серийности продукции, коэффициенты сложности, унификации и др.;
- совокупность отобранных параметров должна достаточно полно характеризовать конструктивные, технологические и эксплуатационные свойства изделий, входящих в ряд, и иметь достаточно тесную корреляционную связь с ценой;
- параметры не должны быть взаимозависимы.
Для отбора технико-экономических параметров, существенно влияющих на цену, вычисляется матрица коэффициентов парной корреляции. По величине коэффициентов корреляции между параметрами можно судить о тесноте их связи. При этом близкая к нулю корреляция показывает незначительное влияние параметра на цену. Окончательный отбор технико-экономических параметров производится в процессе пошагового регрессивного анализа с использованием компьютерной техники и соответствующих стандартных программ.
В практике ценообразования применяется следующий набор функций:
линейная
P = ao + alXl + ... + antXn,
линейно-степенная
Р = ао + а1Х1 + ... + аnХп + (ап+1Хп) (ап+1Хп) +... + (ап+nХп2) (ап+nХп2)
обратного логарифма
Р = а0 + а1: In Х1 + ... + ап: In Xn,
степенная
P = a0 (X1^a1) (X2^a2) .. (Xn^an)
показательная
P = e^(а1+а1X1+...+аnХn)
гиперболическая
Р = ао + а1:Х1 + а2:Х2 + ... + ап:Хп,
где Р - выравнивание цены; X1 X2,..., Хп - значение технико-экономических параметров изделий ряда; a0, a1 ..., аn - вычисляемые коэффициенты уравнения регресии.
В практической работе по ценообразованию в зависимости от формы связи цен и технико-экономических параметров могут использоваться другие уравнения регрессии. Вид функции связи между ценой и совокупностью технико-экономических параметров может быть задан предварительно или выбран автоматически в процессе обработки на ЭВМ. Теснота корреляционной связи между ценой и совокупностью параметров оценивается по величине множественного коэффициента корреляции. Близость его к единице говорит о тесной связи. По уравнению регрессии получают выравненные (расчетные) значения цен изделий данного параметрического ряда. Для оценки результатов выравнивания вычисляют относительные величины отклонения расчетных значений цен от фактических:
Цр = Рф - Рр: Р х 100
где Рф, Рр - фактическая и расчетная цены.
Величина Цр не должна превышать 8-10%. В случае существенных отклонений расчетных значений от фактических необходимо исследовать:
- правильность формирования параметрического ряда, так как в его составе могут оказаться изделия, по своим параметрам резко отличающиеся от других изделий ряда. Их надо исключить;
- правильность отбора технико-экономических параметров. Возможна совокупность параметров, слабо коррелируемая с ценой. В этом случае необходимо продолжить поиск и отбор параметров.
Порядок и методика проведения регрессивного анализа, нахождения неизвестных параметров уравнения и экономическая оценка полученных результатов осуществляются в соответствии с требованиями математической статистики.
